La Economía Oscila

Este es un post en el que se aplican matemáticas al comportamiento de la economía. Un divertimento académico.

post_math_intro

 

Hace unas semanas hemos quedado con Funanbulista Kantiano. Hemos estado comentando que hay que comprender mejor la economía. Está pletórico de energía, devorando los libros de Adam Smith, Keynes, y Schumpeter. Además, en casa estamos también estudiando economía. Así que por una cosa o por otra vamos a dejar por escrito lo que vamos aprendiendo.

Suponemos que cualquier estudiante de economía estudia las cosas que vamos a comentar. Como somos unos outsiders en estos temas, los comentarios serán bienvenidos.

Pues empecemos. Se dice que un sistema económico es cerrado si toda su producción se consume y se invierte dentro de sí mismo. En él no se exporta, no se importa, ni se invierte capital exterior.

Si P es la Producción, C el Consumo, e I la Inversión de una economía cerrada, se cumple que

post_math_eq01

Supongamos ahora que existen inversiones externas, o que hay un gasto público G. La economía deja de se cerrada y se cumple que

post_math_eq02

Por otro lado, según Keynes, se puede suponer que a mayor producción hay mayor consumo, por lo que cabe admitir que

post_math_eq03

donde los coeficientes a y b, los dos positivos, cuantifican la tendencia al ahorro y al consumo, respectivamente.

Supongamos por simplicidad que el gasto público es constante e igual a G0. La demanda D(t) mide el nivel deseado de consumo e inversión. En general se pretende que la economía esté en equilibrio, de modo que la demanda y la producción sean iguales

post_math_eq04

Una dificultad para alcanzar el equilibrio es que la producción no puede responder instantáneamente a la demanda. Por el contrario, hay un retardo de tiempo τ debido, por ejemplo, a la necesidad de diseñar un nuevo modelo de un producto, o recoger una cosecha.

Al estudiar el comportamiento de la economía se considera que (esta ecuación no es mas que sustituir las fórmulas anteriores):

post_math_eq05

Para simplificar el retardo, tomemos la aproximación lineal que supone que el valor de P en un tiempo anterior t-τ es

post_math_eq06

y vemos que la economía estará en equilibro en primer orden de τ si se cumple que

post_math_eq07

Como la inversión I no es constante, sino que depende de la tendencia de la producción. Una hipótesis realista es que se cumpla:

post_math_eq08

donde α y β son coeficientes positivos (la inversión aumenta con la producción, pero tanto menos cuanto mayor es).

Estas dos últimas ecuaciones son la base de este modelo. Si derivamos respecto al tiempo la primera y sustituimos, teniendo en cuenta el siguiente cambio de variable

post_math_eq09

resulta que

post_math_eq10

que es la ecuación de un oscilador armónico amortiguado. Normalmente se la representa así:

post_math_eq13

donde se sustituye

post_math_eq11

y

post_math_eq12

Es conveniente considerar la siguiente frecuencia. Note que el efecto del rozamiento reduce la frecuencia.

post_math_eq14

Y no olvidemos que a partir de la frecuencia podemos deducir el periodo T:

post_math_eq23

Veamos ahora los 3 casos generales del oscilador armónico amortiguado.

Caso 1: Amortiguamiento Subcrítico

En el caso que el amortiguamiento sea pequeño, cuando la frecuencia característica es mayor que el rozamiento:

post_math_eq15

entonces, la solución general es de esta forma, siendo C y δ dos constantes a determinar

post_math_eq16

El movimiento consiste en una oscilación de frecuencia ω con una amplitud que decae exponencialmente con un tiempo de relajación de τ=1/γ, también llamada vida media del oscilador.

La evolución temporal es la siguiente, una sinusoidal amortiguada:

post_math_amortiguamiento_subcritico_x_t

En este modelo, cuando x se hace muy pequeña entonces la producción P multiplicada por la tendencia al ahorro a iguala a la inversión pública G0. Como ya vimos anteriormente:

post_math_eq09

La siguiente gráfica muestra la velocidad de cambio de x con respecto a sí misma. Es una espiral que tiende al equilibrio en (0,0). El origen de coordenadas es un atractor.

post_math_amortiguamiento_subcritico_dxdt_x

El amortiguamiento tiene dos efectos en estas ecuaciones:

  • Por un lado la amplitud decrece exponencialmente con el tiempo,
  • y por otro lado la frecuencia se hace menor (el sistema se hace más lento), siendo el cambio el siguiente (como ya hemos mostrado anteriormente).

post_math_eq14

Esto es lo que los economistas quieren conseguir, controlar los ciclos económicos y amortiguar las oscilaciones. Habría que preguntarle a Schumpeter y su destrucción creativa qué opinan de todo esto.

Se diría que este es el caso general, donde la producción de las economías sufre sucesivas subidas y bajadas. Japón sería el caso límite, cuando ya se han conseguido amortiguar estas oscilaciones, menudo éxito.

Caso 2: Amortiguamiento Crítico

En el caso en el que se cumpla exactamente

post_math_eq17

entonces la ecuación característica tiene una raíz doble. En este caso la familia de soluciones es de este tipo:

post_math_eq18

La siguiente gráfica muestra el caso con valores de las constantes C1=0 y C2=1.

post_math_amortiguamiento_critico_x_t

El diagrama de fases muestra como el sistema se mueve hacia el origen.

post_math_amortiguamiento_critico_dxdt_x

Este caso 2 es una solución matemáticamente correcta, pero es un caso límite que en la realidad no se da.

Caso 3: Amortiguamiento Supercrítico

Cuando el coeficiente de rozamiento es mayor que la frecuencia característica, entonces se cumple que

post_math_eq19

En este caso las soluciones son exponenciales decrecientes del tipo:

post_math_eq22

Donde se ha realizado el siguiente cambio

post_math_eq20

post_math_eq21

post_math_amortiguamiento_supercritico_x_t

post_math_amortiguamiento_supercritico_dxdt_x

Esta podría muy bien ser la evolución de la economía de Venezuela, una exponencial decreciente.

Referencia

Dinámica Clásica, Antonio Rañada, capítulo 6.

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Autor: willyfog

Turista laboral por la Unión Europea. Por favor que dure. Lo que veo, leo o me cuentan no lo suelo encontrar en español, así que me gusta escribirlo por aquí.

Un comentario en “La Economía Oscila”

  1. Willyfog, en la ecuación del oscilador armónico amortiguado, te has comido un signo + justo después de la segunda derivada y el corchete.
    De ahí en adelante, ya no he seguido la deducción, ¡lo siento!

    Saludos.
    Pepe.

    Me gusta

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